这一节介绍求解\(Ax=b\)，可解性和解的结构。
方程组\(Ax=b\)，可能有解，也可能无解。如果有解，就需要知道是唯一解还是很多解，并求出所有的解。
1. 一个例子
仍以上一节的矩阵\(A\)作为例子
\( A=\begin{bmatrix}1&2&2&2\\2&4&6&8\\3&6&8&10\end{bmatrix}\)
方程组 \(Ax=b\) 为：
\( \begin{bmatrix}1&2&2&2\\2&4&6&8\\3&6&8&10\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}\)
这个方程组左边的前两行相加等于第三行
若要使方程组有解，\(b_{1}\)、\(b_{2}\)、\(b_{3}\) 需满足：\(b_{3}=b_{1}+b_{2}\)
也可以说，如果左侧各行的线性组合得到\(0\)，那么右侧常数的相同线性组合也必须为\(0\)
写成增广矩阵（Augmented matrix）的形式：
\( \left[ \begin{array} {cccc|c} 1&2&2&2&b_{1}\\2&4&6&8&b_{2}\\3&6&8&10&b_{3}\end{array} \right]\)
进行消元
\( \to \left[ \begin{array} {cccc|c} 1&2&2&2&b_{1}\\0&0&2&4&b_{2}-2b_{1}\\0&0&2&4&b_{3}-3b_{1}\end{array} \right] \to
\left[ \begin{array} {cccc|c} 1&2&2&2&b_{1}\\0&0&2&4&b_{2}-2b_{1}\\0&0&0&0&b_{3}-b_{2}-b_{1}\end{array} \right] \)
于是有 \(0=b_{3}-b_{2}-b_{1}\)，这就是方程组有解的条件。
2. \(Ax=b\) 的可解性(solvability)，即 \(b\) 要满足什么条件，才能让 \(Ax=b\) 有解？
\(Ax=b\) 有解，用列空间来描述就是：\(b\) 必须属于 \(A\) 的列空间，且仅当 \(b\) 属于 \(A\) 的列空间时成立。
\(Ax=b\) solvable when(exactly when) \(b\) is in \(C(A)\)
也就是说，\(b\) 必须是 \(A\) 中各列的线性组合。
另一种方式描述这种情况：
如果 \(A\) 中各行的线性组合得到零行，则 \(b\) 侧分量的相同的线性组合也必须为零。
这两种描述是等价的，它们都是描述方程组有解的条件。
3. 解方程组\(Ax=b\)
求\(Ax=b\) 的所有解（to find complete solution to \(Ax=b\) ）：
第一步，求一个特定的解，即特解
① \(x_{particular}\) :
将所有自由变量设为\(0\)，解出\(Ax=b\) 中的主变量(set all free variables to \(0\) , solve \(Ax=b\) for pivot variables)
对于上面的例子而言，\(x_{2}\)、\(x_{4}\) 所在的列没有主元，所以\(x_{2}、x_{4}\) 是自由变量
当\(x_{2}=0、x_{4}=0\) 时，解出方程组中\(x_{1}、x_{3}\) 的值，\(x_{1}=-2、x_{3}=3/2\)，
所以，\(x_{p}=\begin{bmatrix}-2\\0\\3/2\\0\end{bmatrix}\)
求特解的方法：首先验证最后的方程 \(0=0\) 是否成立，然后令所有自由变量为 \(0\)，解出主变量。
第二步，求零空间
② \(x_{nullspace}\) :
方法见上一节
\(①+②\)就是 \(Ax=b\) 所有的解
\(x=x_{p}+x_{n}\)
\( \begin{align} Ax_{p}&=b\\ Ax_{n}&=0 \\ A(x_{p}+x_{n})&=b \end{align}\)
对于上面的例子：
\(x_{complete}=\begin{bmatrix}-2\\0\\3/2\\0\end{bmatrix}+c_{1}\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}+c_{2}\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix}\)
4. 考虑秩为 \(r\) 的 \(m \times n\) 矩阵\(A(r \le m,r \le n)\)
前面的内容里我们定义了，秩即为主元的个数。
（1）列满秩，即 \(r=n\) 时
列满秩，意味着每一列都有主元，此时主变量有 \(n\) 个，自由变量没有（no free variables）
由于没有自由变量可以赋值，所以 \(A\) 的零空间 \(N(A)\) 只有零向量，\(N(A)=\){0向量}
此时，\(Ax=b\) 如果有解的话，就只有特解 \(x_{p}\)
列满秩时，如果有解，则解唯一，或者说，列满秩时无解或只有唯一解
（2）行满秩，即\(r=m\)时
行满秩，意味着主元个数为\(m\)，每一行都有主元
这种情况下，对任意的\(b\)，\(Ax=b\)都有解
自由变量的个数为：\(n-r(与n-m相等)\)
例：
\( A=\begin{bmatrix}1&2&6&5\\3&1&1&1\end{bmatrix}\)
对于 \(A\)，它的秩为 \(2\)，其行最简形为
\( R=\begin{bmatrix}1&0&*&*\\0&1&*&*\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I&F\end{bmatrix}\)
（3）\(r=m=n\) 时
这时的\(A\) 是一个可逆矩阵，其行最简形为：\(R=I\)
这种情况\(Ax=b\) 总有解，此时矩阵\(A\) 的零空间只包含 \(0\) 向量
总结：
对于\(Ax=b\)，\(A\)的秩为\(r\)
\(1.\; r=m=n\)
\(R=I\)
此时，有唯一解
\(2.\; r=n<m\)
\(R=\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}\)
此时，无解或有唯一解（唯一的特解）
\(3.\; r=m<n\)
\(R=\begin{bmatrix}I&F\end{bmatrix}\)，这里 \(I\) 和 \(F\) 有可能是混搭在一起的
此时，有无穷多解，因为存在零空间
\(4.\; r<m且r<n\)
\(R=\begin{bmatrix}I&F\\0&0\end{bmatrix}\)
此时，无解或有无穷多解
由上可见矩阵的秩的重要性，矩阵的秩决定了方程组解的结构，秩r包含了除具体的计算结果之外的所有信息。