(5)置换矩阵、矩阵的转置、向量空间

这一节总结置换矩阵矩阵的转置,并开始探讨向量空间。用向量空间进行更深层次的探讨,才是进入了线性代数的大门,才是本课程的核心。

一、置换矩阵

置换矩阵,记作P(permutations),是用来完成行互换的矩阵(those are matrices P and they execute row exchanges),其本身是行重新排列了的单位阵。
\( A=LU \to PA=LU \qquad \) 通过行互换,把主元调为不为0

对于任意可逆阵A,都有这种形式。
n阶置换矩阵,所有可能的形式共有\( \quad n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots3\cdot2\cdot1=n! \quad \)种
且所有置换矩阵都可逆,其逆阵与其转置相等。\( P^{-1}=P^{T}\)

二、矩阵的转置

转置的公式(Transpose):\( \quad (A^{T})_{ij}=A_{ji} \)
例如:\( R=\begin{bmatrix}1&3\\2&3\\4&1 \end{bmatrix} \quad R的转置R^{T}=\begin{bmatrix}1&3\\2&3\\4&1 \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix}1&2&4\\3&3&1 \end{bmatrix}\)

对称矩阵(symmetric matrices):\(A^{T}=A \),例如:\(\begin{bmatrix}3&1&7\\1&2&9\\7&9&4 \end{bmatrix}\)

所有的\(R^{T}\)乘以R得到的都是对称阵。\( R^{T}R \; \)is always symmetric.
\( (R^{T}R)^{T}=R^{T}R^{TT}=R^{T}R \quad\)所以是对称阵

三、向量空间(vector spaces),子空间(sub-spaces)

向量的两种基本运算:加法和数乘
空间(spaces):表示有很多向量,一整个空间的向量,a space of vectors

例:
\( R^{2}=all \, 2-dim\, real\, vectors\\ \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}\pi\\e\end{bmatrix} \cdots \\ =x-y\;plane \\\)
\( R^{3}=all \; column\; vectors\; with\; 3\; real\; components\\ \)
\( R^{n}=all \; column\; vectors\; with\; n\; real\; components\\ \)

向量空间的性质:对加法和数乘两种运算是封闭的,或者说对线性组合是封闭的。

以\(R^{2}\)为例(对\(R^{n}\)也同样成立):

  • 两两相加,仍然在\(R^{2}\)中
  • 数乘某向量,仍然在\(R^{2}\)中
  • 线性组合,仍然在\(R^{2}\)中

\(R^{2}\)的子空间:

  • \(R^{2}\)
  • 过\(0\)点的直线\(L\)
  • \(0\)点本身\(\begin{bmatrix}0\\0 \end{bmatrix}\)

\(R^{3}\)的子空间:

  • \(R^{3}\)
  • 过\(0\)点的直线\(L\)
  • 过\(0\)点的平面\(P\)
  • \(0\)点本身\(\begin{bmatrix}0\\0\\0 \end{bmatrix}\)

矩阵构成子空间的情况:

例:\( A=\begin{bmatrix}1&3\\2&3\\4&1 \end{bmatrix} \quad \)
columns in \(R^{3}\) ,all their combinations form a subspace called column space C(A)

这一节的核心思想是通过某些向量构成一个由向量组成空间