本节讲矩阵A的列空间（Column space）和零空间（Null space）
对于\(R^{3} \)内的2个子空间\(P\)和\(L\)：
它们的并集\( P\cup L\)，因为对加法不封闭，而不满足向量空间的条件，所以不是子空间。
它们的交集\( P\cap L\)，满足向量空间的条件，所以是子空间。
更一般的情况：
对于子空间\(S\)和\(T\)，它们的交集\( S\cap T\)是子空间。
一、矩阵\(A\)的列空间
例：\( A=\begin{bmatrix}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4 \\4&1&5\end{bmatrix}\)
矩阵\(A\)的列向量属于\(R^{4}\)的子空间
\(A\)的列空间由所有列的线性组合构成
columan space of \(A\) is subspace of \(R^{4}\) = all linear combination of columns
对于这个例子，3个向量的线性组合，构不成4维空间，那么构成的空间到底有多小呢？
把它和方程组联系起来，\(Ax=b\)是否对于任意 \(b\) 都有解？还衍生出另一个问题，什么样的 \(b\) 使方程组有解？
\( Ax: \begin{bmatrix}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4 \\4&1&5\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\b_{4}\end{bmatrix}\)
对于第1个问题：
回答是否定的
因为3个列向量的线性组合无法充满整个4维空间。
对于第2个问题：
要使 \(Ax=b\) 有解，当且仅当 \(b\) 属于 \(A\) 的列空间，即只有 \(b\) 是 \(A\) 中各列的线性组合时，\(Ax=b\) 才有解。
对于这个例子，\(A\) 的3列线性相关吗，对它们进行线性组合，是否每列都对组合有所贡献？或者说，能否去掉某列，得到同样的列空间？
可以看出，是线性相关的，可以。\(A\) 的列空间可以描述为\(R^{4}\)中的2维子空间。
二、零空间
还是以上面的 \(A\) 为例
Nullspace of \(A\) = all solutions \(x=\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}\) to \(Ax=0\)
即，\(Ax=0\) 的解 \(x\)
对于 \(m \times n\) 矩阵，它的列空间属于\(R^{m}\)，零空间属于\(R^{n}\)
\( Ax= \begin{bmatrix}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4 \\4&1&5\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}\)
\(N(A)\) contains \(\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}\)
即\(c\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}\)
如何证明零空间是向量空间？
检验 \(Ax=0\)的解构成一个子空间。
若 \(Av=0\) 且 \(Aw=0\) ，则 \(A(v+w)=Av+Aw=0\)
若 \(Av=0\) ，则若 \(A(cv)=cAv=0\)
证毕。