不等式的性质

这一节学习不等式的性质。不等式是高中数学的一个板块。虽然篇幅在高中数学里占比不大,却是考核的重点内容之一。高考中,一般会有一道不等式内容的大题。不等式在高等数学的学习与研究中也非常重要,是高等数学研究内容之一,甚至在线性代数、数学分析、概率论、向量代数等领域都有所应用。

1.两个实数\(a\)与\(b\)之间的大小关系

\( \begin{cases} \; (1)\; a-b \gt 0 \Leftrightarrow a \gt b \\ \; (2)\; a-b = 0 \Leftrightarrow a=b \\ \; (3)\; a-b \lt 0 \Leftrightarrow a \lt b \end{cases} \)

若\(a、b\in R^+,则\begin{cases} \; (4)\; \frac ab \gt 1 \Leftrightarrow a \gt b \\ \; (5)\; \frac ab = 1 \Leftrightarrow a=b \\ \; (6)\; \frac ab \lt 1 \Leftrightarrow a \lt b \end{cases} \)

2.不等式的性质

  1. 对称性或反身性 \( \quad a \gt b \Leftrightarrow b \lt a \)
  2. 传递性 \(\quad a \gt b , b \gt c \Rightarrow a \gt c \)
  3. 可加性,又称为移项法则 \(\quad a \gt b \Rightarrow a+c \gt b+c \)
    同向可加性 \(\quad a \gt b,c \gt d \Rightarrow a+c \gt b+d \)
  4. 可乘性 \(\quad a \gt b ,c \gt 0 \Rightarrow ac \gt bc \)
    \(\qquad \qquad a \gt b ,c \lt 0 \Rightarrow ac \lt bc \)
    正数同向可相乘 \(\quad a \gt b \gt 0, c \gt d \gt 0 \Rightarrow ac \gt bd \)
  5. 乘方法则 \(\quad a \gt b \gt 0 (n \in N ) \Leftrightarrow a^n \gt b^n \gt 0 \)
  6. 开方法则 \(\quad a \gt b \gt 0 (n \in N , n \ge 2) \Leftrightarrow \sqrt[n]a \gt \sqrt[n]b \gt 0 \)
  7. 倒数法则 \(\quad a \gt b ,ab\gt 0 \Rightarrow \frac 1a \lt \frac 1b \)

性质(4)可乘性证明:
\( \quad \begin{align}
&ac-bc=(a-b)c \\
&因为 a \gt b \\
&所以 a-b \gt 0 \\
&根据同号相乘得正,异号相乘得负,得\\
&当 c \gt 0 时,(a-b)c \gt 0 ,即ac \gt bc \\
&当 c \lt 0 时,(a-b)c \lt 0,即ac \lt bc
\end{align} \)

它的推论——正数同向可相乘证明:
\( \quad \begin{align}
&因为 a \gt b \gt 0, c \gt 0 \\
&所以 ac \gt bc\\
&因为 c \gt d \gt 0, b \gt 0 \\
&所以 bc \gt bd\\
&所以 ac \gt bd\\
\end{align} \)

由此,可进一步推论得
\( \quad 如果a \gt b \gt 0,那么a^n \gt b^n (n \in N 且 n \ge 2) \)


\( 例题1.设f(x)=ax^2+bx,且1 \le f(-1) \le 2 ,2 \le f(1) \le 4,求f(-2)的取值范围 \)
解:
\( \quad \begin{align} 因为\; &1 \le f(-1) \le 2\\
即\; &1 \le a-b \le 2 \\
因为\; &2 \le f(1) \le 4 \\
即\; &2 \le a+b \le 4 \\
\\
所以\; &3 \le f(-1)+f(1) \le 6\\
即\; &3 \le 2a \le 6\\
又因为\; &f(-2)=4a-2b\\
\; &=2(a-b)+2a\\
\; &=2f(-1)+[f(-1)+f(1)]\\
所以\; &5 \le f(-2) \le 10\\
\end{align}
\)