绝对值不等式

本节介绍绝对值不等式的的基本形式、解法和性质。

1.基本形式

含有绝对值不等式有以下两种基本形式:

(1) \(\, \vert x \vert \lt a (a \gt 0) \Leftrightarrow -a \lt x \lt a \;(\,\vert x \vert \le a (a \gt 0) \Leftrightarrow -a \le x \le a \,) \)

(2) \( \vert x \vert \gt a (a \gt 0) \Leftrightarrow x \gt a \,或\, x \lt -a \;(\,\vert x \vert \ge a (a \gt 0) \Leftrightarrow x \ge a \,或\, x \le -a \,) \)

2.解绝对值不等式的方法

解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号,一般有以下方法:

  1. 定义法
  2. 零点分段法:通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式
  3. 平方法:通常适用于两端均为非负实数时(比如 \( \vert f(x)\vert \lt \vert g(x) \vert \))
  4. 图像法或数形结合法

3.绝对值的不等式的性质

定理:\( \vert a \vert – \vert b \vert \le \vert a+b \vert \le \vert a \vert + \vert b \vert \)

证明: \(\left. \begin{array} \, -\vert a \vert \le a \le \vert a \vert \\ \, -\vert b \vert \le b \le \vert b \vert \end{array} \right\} \Rightarrow -(\vert a \vert + \vert b \vert ) \le a+b \le \vert a \vert + \vert b \vert \Rightarrow \vert a+b \vert \le \vert a \vert + \vert b \vert \)


因为 \( \quad a=a+b-b \\ \quad \vert a \vert = \vert a+b-b \vert \le \vert a+b \vert + \vert -b \vert \)

移项得\( \; \vert a \vert – \vert -b \vert \le \vert a+b \vert\)

即\(\quad \quad \vert a \vert – \vert b \vert \le \vert a+b \vert\)

所以:\(\quad \vert a \vert – \vert b \vert \le \vert a+b \vert \le \vert a \vert + \vert b \vert \)

注意:

  1. 左边“加强”同样成立,即\(\vert \, \vert a \vert – \vert b \vert \, \vert \le \vert a+b \vert \le \vert a \vert + \vert b \vert \)
  2. 这个不等式俗称“三角不等式” —— 三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
  3. \(a,b\)同号时右边取“=”,\(a,b\)异号时左边取“=”

推论 1. \( \vert a_1+a_2+\cdots+a_n \vert \le \vert a_1 \vert +\vert a_2 \vert + \cdots + \vert a_n \vert \)

推论 2. \( \vert a \vert – \vert b \vert \le \vert a-b \vert \le \vert a \vert + \vert b \vert \)

证明:在上面的定理中以\(\;-b \;取代 \;b\;\)得:
\(\qquad \quad \vert a \vert – \vert -b \vert \le \vert a+(-b) \vert \le \vert a \vert + \vert -b \vert \)
\(\qquad 即 \vert a \vert – \vert b \vert \le \vert a-b \vert \le \vert a \vert + \vert b \vert \)